章节 授课老师
流体力学 张何朋
弹性力学 张洁
布朗运动 曹鑫
胶体 曹鑫
聚合物 徐恒
液晶 姚振威
界面和膜 姚振威

流体力学

II. Bernoulli 定律的导出

对于稳态、无粘性且不可压缩的流体，Bernoulli 定律的通用形式（在流线上的任意一点均成立）为：

$$ \frac{\rho v^{2}}{2} + \rho gz + p = \text{const} $$

根据前文的记号，$v$ 表示流线某一点处的流体流速，$g$ 表示重力加速度，$z$ 表示垂直距离，$p$ 表示所选点处的压力，$\rho$ 表示流体密度。该方程右侧的常数仅取决于所选的流线。我们将推导本题中的该方程。

对于稳态（即与时间无关）流动，流线被定义为: 小流体元沿其运动的直线。用方程表示：对于速度场 $\vec{v}(\vec{r})$，流线被定义为：沿其 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}z$ 满足

$$ \frac{v_{x}}{\mathrm{d}x} = \frac{v_{y}}{\mathrm{d}y} = \frac{v_{z}}{\mathrm{d}z} $$

一组流线可以形成一个称为流管的管状曲面；参见图 1.25。根据式 (1.78)，流体速度与流线平行，因此根据构造，流管侧壁上不存在横向流动。假设一个无限小体积元 $\Delta V$ 在流管内运动，其几何形状如图 1.26 所示。浅蓝色区域代表该体积元，且 $\Delta V = \Delta s_{1}A_{1} = \Delta s_{2}A_{2}$。

1. 证明，该单位体积 $\Delta V$ 周围流体从点 1 到点 2 所做的总功为 $(p_{1} − p_{2})\Delta V$.

  • 点 1 处, 流体从后往前推, 则 $W_{1} = p_{1}A_{1}\Delta s_{1}$;
  • 点 2 处, 流体从前往后推, 则 $W_{2} = -p_{2}A_{2}\Delta s_{2}$.

而 $v$ 与流管平行, 即有 $\Delta V = A_{1}\Delta s_{1} = A_{2}\Delta s_{2}$. 因此, 流体从点 1 到点 2 所做的总功为 $W = W_{1} + W_{2} = (p_{1} - p_{2})\Delta V$.

2. 根据能量守恒定律推导 Bernoulli 定律

  • 动能变化量: $\Delta E_{k} = \frac{1}{2}(\Delta m)v_{2}^{2} - \frac{1}{2}(\Delta m)v_{1}^{2} = \frac{1}{2}\rho\Delta V(v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$;
  • 重力势能变化量: $\Delta E_{p} = \Delta mgz_{2} - \Delta mgz_{1} = \Delta m g (z_{2} - z_{1})$.

根据功能原理, 流体所做功等于内能变化量:

$$ (p_{1}-p_{2})\Delta V &= \frac{1}{2}\rho\Delta V(v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + \Delta m g (z_{2} - z_{1})\\ p_{1}-p_{2} &= \frac{1}{2}\rho(v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + \rho g (z_{2} - z_{1})\\ p_{1} + \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} + \rho gz_{1} &= p_{2} + \frac{\rho v_{2}^{2}}{2} + \rho gz_{2} $$

于是得到 $p + \frac{\rho v^{2}}{2} + \rho gz = \text{const}$

3. 从不可压缩理想流（即 $\eta = \zeta = 0$）的 Navier-Stokes 方程推导出稳态流的 Bernoulli 方程，

[Hint: 利用向量恒等式 $\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v} = \vec{\nabla}\frac{v^{2}}{2} - \vec{v}\times(\vec{\nabla} \times \vec{v})$，通过沿流线对该方程进行积分]

理想不可压缩流的 Navier-Stokes 方程即 Euler 方程 $\rho\left[\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right] = -\nabla p + \rho g = -\nabla p - \nabla(\rho gz)$.

稳态下 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = 0$, 整理形式为 $(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p - \nabla(gz)$.

运用矢量恒等式 $\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v} = \vec{\nabla}\frac{v^{2}}{2} - \vec{v}\times(\vec{\nabla} \times \vec{v})$, 有

$$ \vec{\nabla}\frac{v^{2}}{2} - \vec{v}\times(\vec{\nabla} \times \vec{v}) &= \nabla{\left(-\frac{p}{\rho}\right)} - \nabla(gz)\\ \nabla{\left(\frac{v^{2}}{2} + \frac{p}{\rho} + gz\right)} = \vec{v}\times(\vec{\nabla} \times \vec{v}) $$

现在沿着流线 $\mathrm{d}\vec{l}$ 进行积分, 注意到流线性质为 $\frac{v_{x}}{\mathrm{d}x} = \frac{v_{y}}{\mathrm{d}y} = \frac{v_{z}}{\mathrm{d}z}$, 则可将该关系写作 $\begin{cases}\mathrm{d}x = v_{x}\mathrm{d}\tau\\\mathrm{d}y = v_{y}\mathrm{d}\tau\\\mathrm{d}z = v_{z}\mathrm{d}\tau\end{cases}$, 即 $\mathrm{d}\vec{l} = \vec{v}\mathrm{d}\tau$, 更通俗的语言即 $\mathrm{d}\vec{l}$ 与 $\vec{v}$ 处处平行.

  • 右边: $\vec{\nabla}\times \vec{v}$ 必定垂直于 $\vec{v}$, 所以 $\vec{v}\times(\vec{\nabla} \times \vec{v})$ 也必定垂直于 $\vec{v}$, 使其与 $\mathrm{d}\vec{l}$ 的点积为 0. 因此 $\vec{v}\times(\vec{\nabla} \times \vec{v})\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 0$;
  • 左边: 存在规则 $\mathrm{d}\vec{l}\cdot\nabla{(f)} = \mathrm{d}f$, 则有

$$ \nabla{\left(\frac{v^{2}}{2} + \frac{p}{\rho} + gz\right)}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mathrm{d}\left(\frac{v^{2}}{2} + \frac{p}{\rho} + gz\right) = 0 \Rightarrow \boxed{\frac{v^{2}}{2} + \frac{p}{\rho} + gz = \text{const}} $$

4. 请说明，当机翼设计导致流管在上表面变窄时，如何利用伯努利定律来解释飞机的升力

根据 Bernoulli 定律，$v\uparrow$ 导致 $p\downarrow$. 因此, 机翼上表面流速较快, 压力较低; 机翼下表面流速较慢, 压力较高. 这就形成了一个压力差, 从而产生升力.

II. Poiseuille 管流

日期: 2025-10-18   标签: #read 
软物质导论 复习提纲 日期: 2025-10-14   标签: #read  Polydiversity $N$:聚合度(degree of polymerization), 即 polymer 的长度 $M_{N}$: 分子质量, 若每个单元的质量为 $M_{MON}$, 则 $M_{N} = NM_{MON}$ $n_{N}$: 数量分数. 即随机抽选一个 polymer, 聚合度为 $N$ 的概率 $w_{N}$: 权重分数, $$ w_{N} = \frac{n_{N}M_{N}}{\sum_{N}n_{N}M_{N}} = \frac{n_{N}N}{\sum_{N}n_{N}N} $$ K 阶矩(moment): $$ m_{k} = \sum_{N}n_{N}M_{N}^{k},\quad m_{0} = \sum_{N}n_{N} = 1 $$ 数平均质量 $$ M_{n} \equiv \frac{m_{1}}{m_{0}} = \frac{\sum_{N}n_{N}M_{N}}{\sum_{N}n_{N}} = \sum_{M}n_{N}M_{N} $$ 加权平均质量 $$ M_{w} \equiv \frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{\sum_{N}n_{N}M_{N}^{2}}{\sum_{N}n_{N}M_{N}} $$ 多分散度(Polydiversity Index) $$ \text{PI} = \frac{M_{w}}{M_{n}} \geq 1 $$ ...... 流体力学(圆柱管中层流) 1. 列举涉及的重要物理量及其量纲 物理量 压强差 管长 半径 动力粘度 体积流量 符号 $\Delta P$ $L$ $R$ $\mu$ $Q$ 量纲 $\mathrm{ML^{-1}T^{-2}}$ $\mathrm{L}$ $\mathrm{L}$ $\mathrm{ML^{-1}T^{-1}}$ $\mathrm{L^{3}T^{-1}}$ 剪切应力 $\tau = \mu\times$ 速度梯度 $\begin{aligned}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right)\end{aligned}$, 可类比于摩擦力 ......

毛细重力波(Capillary-gravity waves)

在上一节的练习中，我们未考虑表面张力的稳定作用。现在，我们回到一种稳定状态：两个静止流体之间的界面，较重的流体位于下方（$\rho_{2}>\rho_{1}$），例如池塘中水与空气的界面。方程 $\omega^{2} = \frac{(\rho_{2}-\rho_{1})kg}{\rho_{1}+\rho_{2}}$ 已给出了重力波的色散关系，此时波长足够长，表面张力不再起作用。

1.

回到前一推导中的结果 $$ \rho_{1}\left[\frac{\partial\phi_{1}}{\partial t} + \frac{1}{2}\left(U_{1}+\frac{\partial\phi_{1}}{\partial x}\right)^{2} + gz\right] + p_{1} = \frac{1}{2}\rho_ {1}U_{1}^{2} + p_{1}^{0} $$。我们在前面的推导中得出了 $$ \rho_{1}\left(\frac{\partial\phi_{1}}{\partial t} + U_{1}\frac{\partial\phi_{1}}{x} + g\xi\right) = \rho_{2}\left(\frac{\partial\ \phi_{2}}{\partial t} + U_{2}\frac{\partial \phi_{2}}{\partial x} + g\xi\right) $$。 论证：引入拉普拉斯压力意味着，对于微小的压力变化，我们有 $\delta p_{2} = \delta p_ {1} - \gamma\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x^{2}}$，并且因此包含界面张力等同于 $\rho_{2}g\xi\rightarrow \rho_{2}g\xi - \gamma\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x^{2}}$ 的变化，即在 $\rho_{1}\left(\frac{\partial\ φ_{1}}{\partial t} + U_{1}\frac{\partial\phi_{1}}{x} + g\xi\right) = \rho_{2}\left(\frac{\partial\phi_{2}}{\partial t} + U_{2}\frac{\partial \phi_{2}}{\partial x} + g\xi\right)$ 中的变化。

2.

由 $\omega^{2} = \frac{(\rho_{2}-\rho_{1})kg}{\rho_{1}+\rho_{2}}$ 证明，上述替换将导致毛细重力波具有以下色散关系：$\omega^{2} = |k|\left[\frac{(\rho_{2}-\rho_{1})g}{\rho_{1}+\rho_{2}} + \frac{\gamma}{\rho_{1}+\rho_{2}}k^{2}\right]$