Vafidis' learning rule
目前采用的是单时钟同步更新计算. 下面给出 data stream 的 $t_{n}\to t_{n+1} = t_{n} + \Delta t$ 的状态更新逻辑:
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根据速度模型 (常速度/OU process) 生成本次速度 $v_{n+1}$:
$$ \begin{aligned} v_{n+1}= \begin{cases} v_{\mathrm{const}}, & \text{constant},\\ v_{n}+\frac{\Delta t}{\tau_v}(\mu_v-v_n) +\sigma_v\sqrt{\dfrac{2\Delta t}{\tau_v}}\,\xi_{n+1}, \quad \xi_{n+1}\sim\mathcal N(0,1), & \text{OU}. \end{cases} \end{aligned} $$
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更新真实头朝向 $\theta_{n+1} = \big[(\theta_n+v_{n+1}\Delta t+\pi)\bmod 2\pi\big]-\pi$
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构造 von Mises visual input 和 velocity input:
$$ \begin{aligned} I_{\mathrm{HD},a,i}^{n+1} &= \begin{cases} s_{\mathrm{prox}} \left[ A_{\mathrm{vis}} e^{\kappa_{\mathrm{vis}}(\cos\Delta\theta_{i}^{n+1}-1)} -b_{\mathrm{vis}}+I_{\mathrm{exc}}\right], & \text{visual teacher on},\\ 0, & \text{visual teacher off}, \end{cases}\\ \vec{I}_{\mathrm{vel}\to\mathrm{HR}}^{n+1} &= \begin{bmatrix} +k_{v}v_{n+1}\vec 1_{N_{\mathrm{HR}}/2}\\ -k_{v}v_{n+1}\vec 1_{N_{\mathrm{HR}}/2} \end{bmatrix}. \end{aligned} $$
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计算 HD distal drive, 即树突接收到的所有输入 (此时权重为旧权重 $W^{n}$)
$$ \begin{aligned} \vec I_{\mathrm{HD},d}^{\,n} &= \vec I_{\mathrm{HD}\leftarrow\mathrm{HD}}^{\,n} +\vec I_{\mathrm{HD}\leftarrow\mathrm{LHR}}^{\,n} +\vec I_{\mathrm{HD}\leftarrow\mathrm{RHR}}^{\,n} -b_{\mathrm{HD}}\vec{1}\\ &= \mathbf W_{\mathrm{HD}\to\mathrm{HD}}^{\,n}\vec r_{\mathrm{HD}}^{\,n} + \mathbf W_{\mathrm{LHR}\to\mathrm{HD}}^{\,n}\vec r_{\mathrm{LHR}}^{\,n} + \mathbf W_{\mathrm{RHR}\to\mathrm{HD}}^{\,n}\vec r_{\mathrm{RHR}}^{\,n}-b_{\mathrm{HD}}\vec{1} \end{aligned} $$
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根据 distal 的电流弛豫动力学, 更新 HD distal 电流:
$$ \vec I_{\mathrm{HD},d}^{\,n+1} =\vec I_{\mathrm{HD},d}^{\,n} +\frac{\Delta t}{\tau_s} \left(-\vec I_{\mathrm{HD},d}^{\,n}+\vec D_{\mathrm{HD},d}^{\,n}\right) $$
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根据新 HD distal 电流, 更新 HD distal 膜电位():
$$ \vec V_{\mathrm{HD},d}^{\,n+1} =\vec V_{\mathrm{HD},d}^{\,n} +\frac{\Delta t}{\tau_{l,\mathrm{HD}}} \left(-\vec V_{\mathrm{HD},d}^{\,n} +\vec I_{\mathrm{HD},d}^{\,n+1}\right). $$
