连续神经场方程
- 基础神经场方程
考虑一维环形神经场. 膜电位/激活变量 $u(x,t)$. 根据 Wilson-Cowan / Amari 动力学写出
$$ \tau\frac{\partial}{\partial t}u(x,t) = -u(x,t) + \int_{-\infty}^{+\infty} w(x-x^{\prime})f[u(x^{\prime},t)]\mathrm{d}x^{\prime} + I(x,t) $$
$\tau$: 时间常数
$w(\cdot)$: 连结核, 如 Mexican-hat.
$f(\cdot)$: 激活函数, 如 半线性/sigmoid 函数.
$I(x,t)$: 外部输入
当 $I\equiv 0$, $w$ 对称且平移不变性, 产生一组平移对称的稳态解
$$ u(x,t) = U(x-s) $$
$U(\xi)$ ($\xi = x-s$) 是固定形状的峰解, 即静态 bump.
- $s(t)$ 的动力学
将解写作随时间移动的形状 $u(x,t) = U(x - s(t)) + \delta u$, 其中 $\delta u$ 是涨落项.
定义平移模 (Goldstone mode) 为
$$ \psi(\xi) = \frac{\partial U(\xi)}{\partial \xi} $$
得到一般形式的 $s(t)$ 投影法解:
$$ \dot{s}(t) = \frac{1}{\langle \phi,\psi\rangle}\langle \phi(\cdot), I(\cdot+s(t), t)\rangle + \cdots $$
其中内积 $\begin{aligned}\langle a,b\rangle = \int a(\xi)b(\xi)\mathrm{d}\xi\end{aligned}$.
- 速度作为方向性外部输入
设速度为 $v(t)$, 则外部输入为
$$ I(x, t) = v(t) H[x-s(t)] $$
$H(\xi)$ 代表速度回路如何将速度转为对不同神经元的增益差.
代入至投影公式
$$ \dot{s}(t) = \frac{v(t)}{\langle\phi,\psi\rangle}\int\phi(\xi)H(\xi)\mathrm{d}\xi = K v(t) $$
这表明位移速度与外部输入速度成比例.
- 连接核不对称
将速度映射为权重的不对称分量:
$$ w(x-x^{\prime};v) = w_{0}(x-x^{\prime}) + v w_{1}(x-x^{\prime}) $$
$w_{0}$ 对称, $w_{1}$ 为奇函数.
$v\neq 0$ 时, $w$ 驱动 bump 漂移:
$$ \tau\frac{\partial u}{\partial t} = -u + \int w_{0}(x-x^{\prime})f[u(x^{\prime})]\mathrm{d}x^{\prime} + v\int w_{1}(x - x^{\prime})f[u(x^{\prime})]\mathrm{d}x^{\prime} $$
仍将解写作形式 $u(x,t) = U(x-s(t))$, 得到
$$ \dot{s}(t) = v\frac{1}{\langle\phi,\psi\rangle}\iint \phi(\xi)w_{1}(\xi-\eta)f[U(\eta)]\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\xi = K^{\prime} v(t) $$
仍然得到线性比例.
- 环形式
设神经元在角度 $\theta\in[0, 2\pi)$ 排列, 连接取
$$ J(\theta-\theta^{\prime}) = J_{0}\cos{(\theta-\theta^{\prime})} + J_{1}\sin{(\theta-\theta^{\prime})} $$
$J_{1} = 0$ 时对称, 则存在静态 bump 解 $u(\theta) = A\cos{(\theta - s)}$
$J_{1} \neq 0$ 时对称性破缺, 使 bump 有角速度.
在弱不对称近似下, 有
$$ \dot{s}(t) = \frac{J_{1}}{J_{0}}, \quad\text{if } J_{1}\propto v, \dot{s}\propto v $$
- 噪声
$$ \tau\frac{\partial u}{\partial t} = -u + W\ast f(u) + vH - (\text{decay}) + \sqrt{2D}\zeta(x,t) $$
投影解为
$$ \dot{s}(t) = Kv + \eta(t) + \text{landmark correction} $$
